Kalkulasjonsrenten

Rapport 2012/44

Kalkulasjonsrenten

Michael Hoel og Steinar Strøm

Kalkulasjonsrenten

Kategori	Rapporter
Underkategori(er)	n/a
År	2012
Rapportnummer	44
Forfatter(e)	Michael Hoel Steinar Strøm
Last ned	file_download (919.0 kB)
Les i nettleser	find_in_page

RAPPORT 	
2012/44 
Michael Hoel og Steinar Strøm 
 	
 	
Kalkulasjonsrenten

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 1 
Dokumentdetaljer 
Vista Analyse AS Rapportnummer 2012/44 
Rapporttittel Kalkulasjonsrenten 
ISBN 978-82-8126-093-1 
Forfatter Michael Hoel og Steinar Strøm 
Dato for ferdigstilling 	
 17 desember 2012 
Prosjektleder Steinar Strøm 
Kvalitetssikrer Nic Heldal 
Oppdragsgiver Oljedirektoratet 
Tilgjengelighet Ja 
Publisert 17 desember 2012 
Nøkkelord Kalkulasjonsrente, usikkerhet, langsiktig e 
prosjekter

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	2	
Forord 
Vår oppdragsgiver har vært Oljedirektoratet. Vi har mottatt nyttige og konstruktive 
innspill fra John Dagsvik, Bjørnar Kvinge og Terje Sørenes. Vi har hatt god hjelp fra 
Vivian Dyb og Alice Ciccone. 
17 desember 2012 
Steinar Strøm 
Prosjektleder 
Vista Analyse AS

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 3 
Innhold 
Sammendrag ..................................................................................................................................................... 5	 	
1 	Innledning ........................................ ......................................................................................................... 6	 	
2 	Kalkulasjonsrente og usikkerhet: Et eksempel ...... .................................................................... 8	 	
3 	Dagens praksis i Norge ............................ ......................................................................................... 11	 	
4 	Hagen-utvalget .................................... ................................................................................................. 14	 	
5 	Kalkulasjonsrenter i andre land ................... ................................................................................. 16	 	
6 	Kalkulasjonsrenter ved langsiktige investeringspros jekter og når rentegrunnlaget 
er usikkert ....................................... ................................................................................................................ 19	
 	
7 	Kalkulasjonsrenter beregnet på norske data ........ ................................................................... 27	 	
8 	Konklusjon ........................................ ..................................................................................................... 32	 	
Litteratur ........................................ ................................................................................................................. 33	 	
Vedlegg 1. Kapitalverdimodellen ................... ........................................................................................ 34	 	
Vedlegg 2. Forventningen og variansen i en log-norm al fordeling ........................................... 35	 	
Vedlegg 3. Utregning av E(log c	t-logc	0) og var(log c	t-logc	0) ......................................................... 36

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	4

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 5 
Sammendrag 
Basert på norske konsumdata og avkastningen av Oljefondet finner vi at 
kalkulasjonsrenter knyttet til petroleumsprosjekter kan være 4% de første 40 år. For 
årene deretter brukes en rente på 3%. Vi tar ikke s tilling til om renten bør være enda 
lavere på veldig lang sikt, f eks 2% fra 75 år som Hagen-utvalget foreslår. Om renten er 
2% eller 3% så langt inn i fremtiden vil neppe spil le noen rolle for vurderinger av 
petroleumsrelaterte investeringsprosjekter.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	6	
1 Innledning 
Et investeringsprosjekt har typisk et ressursbruk i en begynnende fase og deretter en 
netto inntektsstrøm som kan strekke seg over mange år. I beregninger av prosjektets 
nåverdi vil det være nødvendig å benytte en kalkula sjonsrente. Denne renten skal 
reflektere hva ressursene puttet inn i et prosjekt alternativt kan kaste av seg, gitt den 
systematiske risikoen som prosjektet kan være kjenn etegnet ved. Den systematiske 
risikoen er knyttet til den korrelasjonen som prosj ektets avkastning kan ha med 
avkastningen på landets nasjonalformue. En samfunns økonomisk kalkulasjonsrente vil 
typisk bestå av en risikofri rente og et påslag, en risikopremie, som reflekterer 
korrelasjonen med avkastningen på nasjonalformuen. 
Dersom den samfunnsøkonomiske kalkulasjonsrenten se ttes lavere enn hva 
investeringer i den private sektoren kaster av seg med tilsvarende risikoprofil, kan det 
bli startet for mange offentlige investeringsprosje ktet som kan trenge ut annen 
ressursbruk i samfunnet, blant annet private invest eringsprosjekter. Omvendt hvis den 
samfunnsøkonomiske kalkulasjonsrenten settes for hø yt. Da kan for få offentlige 
investeringsprosjekter bli satt i gang. 
Størrelsen på den samfunnsøkonomiske kalkulasjonsre nten kan ha stor betydning i 
beregningen av verdien av langsiktige prosjekter, d vs. prosjekter med levetid opp mot 
30-40 år og lenger. Jo høyere kalkulasjonsrenten se ttes, alt annet likt, desto mindre vil 
fremtidige nytte- og pengestrømmer bidra til verdie n av prosjektet. Innen olje- og 
gassvirksomhet er det mange eksempler på prosjekter med lang levetid, blant annet 
gassrør. Størrelsen på kalkulasjonsrenten kan også ha stor betydning for valg av 
transportløsninger for gass. Dersom valget står mel lom transport av gass i rør eller LNG 
fra Barentshavet vil en høy kalkulasjonsrente gi LN G alternativet en fordel. Gassrør kan 
ha en lengre levetid, det vil ha en høyere ”sunk co st” og vil være mer sårbar for fremtidig 
usikkerhet med hensyn til gasspriser. I neste avsni tt ser vi nærmere på et enkelt 
eksempel som belyser valg mellom rør og LNG. 
I avsnitt 3 vil vi først gi en kort oversikt over d agens praksis med hensyn til fastsetting 
av kalkulasjonsrenten. Kort fortalt innebærer dagen s praksis at en normalt skal operere 
med tre rentenivåer; 2 prosent for prosjekter som i kke i det hele tatt er beheftet med 
systematisk risiko, 4 prosent for prosjekter med en moderat korrelasjon med 
avkastningen på nasjonalformuen og 6 prosent for pr osjekter med den antatt sterkeste 
korrelasjonen. 
I avsnitt 4 gir vi en kort oppsummering av hva det såkalte Hagen utvalget, NOU 2012:16, 
har anbefalt. Disse anbefalingene innebærer lavere kalkulasjonsrenter enn dagens 
praksis, og fallende kalkulasjonsrenter over tid fo r prosjekter med lang levetid. 
I avsnitt 5 gir vi en oversikt over hvilke samfunns økonomiske kalkulasjonsrenter andre 
land benytter. 
Avsnitt 6 viser hvordan en risikofri rente kan bere gnes når et investeringsprosjekt 
bidrar til å øke en fremtidig konsumstrøm som er us ikker. Vi går gjennom noen analyser 
som nylig er blitt publisert internasjonalt. Et hov edpoeng i disse analysene er at den 
risikofrie kalkulasjonsrenten kan falle over tid, o g dette resultatet er da også med som

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 7 
begrunnelse for Hagen utvalgets tilråding om fallende kalkulasjonsrenter over tid i 
langsiktige prosjekter. Jo høyere fremtidig vekst i privat konsum forventes å bli, desto 
høyere bør kalkulasjonsrenten settes. Grunnen er at en må redusere investeringer slik at 
veksten ikke blir enda høyere. Jo høyere variansen forventes å bli i fremtidig konsum, 
desto lavere bør kalkulasjonsrenten settes. Grunnen er at en risikoavers aktør som det 
offentlige kan være, vil stimulere veksten gjennom å tillate flere investeringer slik at et 
eventuelt fall i fremtidig konsum, kan motvirkes. 
I avsnitt 7 er en risikofri rente for Norge beregne t basert på norske konsumdata. Den 
risikofrie renten er anslått til om lag 2-2.6 prose nt og faller bare svakt over tid, i 
motsetning til resultatet i de internasjonale studi ene i avsnitt 6. Kalkulasjonsrenten i et 
konkret prosjekt er avledet fra et slags gjennomsni tt (avledet fra den såkalte 
kapitalverdimodellen) av diskonteringsfaktorene til et risikofritt prosjekt og til et 
prosjekt nært knyttet til avkastningen til nasjonal formuen. I og med at Norge har 
verdens største offentlige fond investert i utlande t benytter vi avkastningen på dette 
fondet som avkastning på nasjonalformuen. Vi setter denne avkastningen til 4 prosent 
som er i overensstemmelse med hva Finansdepartement et antar. Selv om fondet ikke 
har oppnådd en slik høy avkastning de siste årene, er det grunn til å vente at 
avkastningen tar seg noe opp når verdensøkonomien k ommer gjennom dagens kriser. 
Utfallet av analysene våre er at prosjektavkastning er med en 50 prosent korrelasjon 
med avkastningen på oljefondet kan ha kalkulasjonsr enter på rundt 3 prosent og svakt 
fallende over tid. Helt risikofrie prosjekter har a ltså 2-2.6 prosent og svakt fallende over 
tid, mens prosjekter sterkt korrelert med oljefonde t har 4 prosent. 
De samfunnsøkonomiske kalkulasjonsrentene kan derfo r variere noe med hensyn til 
graden av systematisk risiko og prosjektenes leveti d. Det er ingen grunn til å benytte 
ulike kalkulasjonsrenter avhengig av type prosjekt, som miljø-, olje eller gassprosjekt. 
Avsnitt 8 konkluderer med at i olje- og gassprosjek ter kan det være aktuelt med en 
kalkulasjonsrente på 4 prosent de første 40 år, for år utover dette 3 prosent.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	8	
2 Kalkulasjonsrente og usikkerhet: Et eksempel 
I dette avsnittet ser vi på et stilisert eksempel f or å belyse betydningen av 
kalkulasjonsrentens størrelse og hvordan hensynet t il usikkerhet påvirker 
kalkulasjonsrentens størrelse. Anta at problemstill ingen er valg mellom to 
transportløsninger for gass, rør versus LNG med ski p. Vi antar at rørtransport har 
høyere investeringskostnader enn LNG, men lavere dr iftskostnader. Vi ser bort fra alle 
andre forskjeller mellom de to alternativene, inklu sive den økte fleksibiliteten mht 
markeder som LNG-løsningen vil gi. 
Det er to perioder (”nåtid” og ”fremtid”). Invester ingen foretas i første periode, gass 
utvinnes og selges i andre periode. Nåverdien av å velge rør fremfor LNG er 
 	
1
1	V I Y	r	= − + +	 
Her er I differensen mellom investeringskostnadene for rør og LNG; I antas positiv da 
rør-alternativet har høyest investeringskostnader. Fremtidige inntekter for prosjektet 
”rør i stedet for LNG” er de sparte driftskostnaden e ved å velge rør-alternativet; Y er 
positiv siden rør-alternativet antas å ha de lavest e driftskostnadene. Kalkulasjonsrenten 
er r. Rør-alternativet bør velges hvis og bare hvis V er positiv; fortegnet på V vil avhenge 
av størrelsen på r, slik at rør-alternativet vil fortone seg mer lønn somt jo lavere 
kalkulasjonsrenten er. 
Hvis det ikke var noen usikkerhet skal r være risikofri rente (antatt lik 2%). I dette enkl e 
prosjektet antar vi at investeringskostnaden er sik ker, mens fremtidige driftskostnader 
knyttet til LNG er usikre. Dersom denne usikkerhete n er korrelert med hvordan det for 
øvrig går med norsk økonomi, skal dette avspeiles i beregningen av nåverdi. Det er to 
måter å korrigere for denne usikkerheten: En kan di rekte risikojustere Y, eller en kan ta 
hensyn til usikkerheten gjennom valg av kalkulasjon srenten. En grundig gjennomgang 
og sammenligning av disse to alternativene er gitt i en rapport fra Vista Analyse: 
Vennemo et al. (2012). 
Vi ser først på direkte risikojusterning av Y: Dersom Y er forventningsverdien av de 
sparte driftskostnadene, og disse driftskostnadene er høye når det ellers går bra for 
Norge, skal en i stedet for Y ha 	
( )	Yθ	i nåverdiuttrykket, hvor 	0 1	θ< <	. Vi sier at 	( )	Yθ	 er 
sikkerhetsekvivalenten til Y, dette betyr at hvis vi fikk 	
( )	Yθ	 med sikkerhet ville dette 
vurderes som nøyaktig like bra som å få den usikre gevinsten med forventningsverdi Y. 
Hvis r er risikofri rente vil altså nåverdien av prosjekt et være 
 	
( )	1
1	V I Y	r	θ	= − + +	 
Usikkerhet i driftskostnaden til LNG svekker altså lønnsomheten til rør-alternativet ( V er 
mindre jo lavere θ er). Dette synes muligens kontraintuitivt, men følg er direkte av at 
høye driftskostnader ved LNG er positivt korrelert med hvordan det ellers går med 
norsk økonomi: Vi er ikke så opptatt av de høye utf allene for disse kostnadene siden 
Norge i de tilfellene har høy inntekt.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 9 
Alternativet til å korrigere Y med 	θ er å ta hensyn til usikkerheten gjennom renten. La r	I 
være den relevante risikojusterte renten for dette prosjektet, nåverdien blir da 
 	
1
1
I	
V I Y	r	= − + +	 
For at dette skal gi samme nåverdi som når vi korri gerte Y med 	
θ, må 
 	
1
1 1	Ir r	
θ	=	+ +	 
dvs 	
( )	1 1 1	
Ir r r	θ
 	= + − +	  
 	 
som er større enn r når 
1	θ	<	. 
Det er nyttig med et talleksempel. Anta at den rikt ige risikojusterte renten er 6% per år. 
Hvis avkastningen i sin helhet kommer etter 10 år, betyr dette at i uttrykket over er 
r =0,22 mens r	
I=0,79. Fra ligningen over har vi 	(1 ) / (1 ) 0, 68	I	r r	θ	= + + =	. I dette 
eksempelet antas altså en usikker besparelse av dri ftkostnader med forventningsverdi 
på 100 millioner kroner å være like my verd som en sikker besparelse på 68 millioner 
kroner. 
Merk at usikkerhet om fremtidige gasspriser ikke er direkte relevant for beregningen 
over. Dette skyldes at vi har antatt at gassen uans ett skal utvinnes og selges. For å se på 
en situasjon hvor usikkerheten i gassprisen spiler en rolle antar vi nå at V er positiv, slik 
at LNG-løsningen ikke er aktuell. Et alternativ til rørledning kan være ingen ny 
transportkapasitet, som vi antar innebærer langsomm ere gassutvinning. Vi utvider 
modellen til tre perioder. Investering antas som fø r i periode 0. Uten investering i ny 
rør-kapasitet antas gassen å bli utvunnet og solgt i de to siste periodene (1 og 2), mens 
med ny rør-kapasitet blir all gassen solgt i den fø rste av de to siste periodene (periode 
1). Formelt kan vi da sette opp følgene nåverdi for investeringen i ny rørledning: 
 	
( )	( )	1 1 2 2	2	
1 1
1 (1 )	W J Y Y	
r r	
φ φ	= − + − + +	 
Her er 	
(	)	1 1Yφ	 den risikojusterte inntekten fra økt gassalg i per iode 1 mens 	(	)	2 2Yφ	er det 
risikojusterte inntektstapet i periode 2 grunnet at det ikke blir noe gassproduksjon i 
denne perioden med økt rør-kapasitet; all gassen ut vinnes i periode 1. Det virker rimelig 
at 	
2 1φ φ	<	 siden gassprisen trolig er mer usikker jo lengre inn i fremtiden vi ser. Det er 
ikke opplagt at 	
2	2 1	( )	φ φ	=	, noe som implisitt forutsettes når en tar hensyn t il usikkerhet 
gjennom justering av renten. Hvis denne likheten gj elder kan vi alternativt ta hensyn til 
usikkerhet gjennom en risikojustert rente r	
J:

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	10	
 	1 2	2	
1 1
1 (1 )	J J	
W J Y Y	r r
= − + −
+ +	 
hvor 	
1	1
1 1
Jr r	
φ	=	+ +	 
dvs 	
( )	
1
1 1 1	
Jr r r	φ
 	= + − +	  
 	 
Merk at risikojusteringen 
1φ	 knytter seg til usikkerhet i gassprisen, mens 
risikojusteringen 	
θ i valg av transportsystem knyttet seg til usikkerh et i driftskostnader 
for LNG-transport. Det er ikke opplagt at 	
1φ θ	=	; hvis denne likheten ikke gjelder vil den 
riktige risikojusterte renten være forskjellig for de to prosjektene. 
Vi ser igjen på et talleksempel. La periode 1 være 10 år frem i tid mens periode 2 er 20 
år frem i tid. På tilsvarende måte som over har vi 	
1	(1 ) / (1 ) 0, 68	J	r r	φ	= + + =	. 
Risikojusteringen 20 år frem i tid blir 	
2
1	0, 46	φ	=	. En usikker gasspris med 
forventningsverdi lik 100 blir altså betraktet som likeverdig med en sikker gasspris lik 
46. Dersom en i dette eksemplet i stedet antar at d en risikojusterte renten er 4% finner 
vi 	
2
1	0, 68	φ	=	, dvs at en usikker gasspris med forventningsverdi lik 100 blir betraktet som 
likeverdig med en sikker gasspris lik 68.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 11 
3 Dagens praksis i Norge 
I følge den siste veilederen for nytte- kostnadsana lyse utarbeidet av 
Finansdepartementet (september 2005) anbefales det bruk av risikojusterte 
kalkulasjonsrenter: 
”Kalkulasjonsrenten skal gjenspeile hva det koster å binde opp kapital i langsiktige 
anvendelser og består av to elementer:  	%

>	%

0	
-?
 	
**>	
	
%	åbæ	?
R	
**
*
	
-

.D
0

h
*-
y

.S
ø 
å-

0h
*0
*-
00	
		
0

*
 	*0

*
å

%	u
,-0.

.E
%- 	
0%	h
høy
%,	*--høy0

*
å-
 høy
0

ø	
	
>”høy	
u

u”?.R	
**
 u

0å	
u
%

.F	å	b 
0
%		
-

*å**-
*u

å 
*
	u*-
%u

ø	
	ø

y
.A -
*
%		
	
h0	-
y

b 
%	0
	u

*.D
0

0æu*å%

*	h-

, 
-
%

b
y

å%u

ø	
	0

--
-
	
0
	b0-

0%	-
	
0bøb
y

ø	
	 
y.E
0
*	-å
b
y

h
*
0-	-
” .

K
0-	-
*
*V-**1. 
A
b%
*0-

å2% 	*
”
	
”	
**å2%

bå4%”%

%%
 
*

”.D

b%
	*å
høy
	
**å4%,

%	-0

-0

*
å
	
%	u
>høy*-0	 
u

u%ø	h
?	
%ø*0
	*
0

b%
	
- 
	
>”u
c	
”?.D
b
y

6%. 
I0-
-
-
-
-

0 *
00%-
høy
0

*0
å6%-	*

-høyy

**. 
I0-
h
-
0-
-
”…bø%

*
u

*0*	
.” 
I
0-	-
0h
*	
**
0 h0	-
0

,
R
,0-0

*
å
-

%	u. D

%	u
u
0

Vista Analyse AS 	12

u
,u

*%	-
*å
-
-.
A0

*
å-

%	u

. I
0-	-

å
0

*
å
-

%	u0-h0 -
%-
0
-
.
R	
E[R	
-]b*
-%		-
%	0

0-
0- %%

*
å

-
åO	Bø, R	
,	*
	%

.
Mu

--
	
	
β%		
,å0
u

%å

*å-

ø	
		
**

b
-.F
	
	
β%

0å0

*
å

*
0

*
å
-

%	u.R	
**

.
F	0

*åO	Bø,R	
,
å

6%.M-
	%

å2%
b-
%	0

å4%.F
 0-	-
h0->V-**
1?: 
E>R	
?=+	β[E>R	?-]=>1-	β?+	βE>R	?=0.02>1-	β?+	β0.06.
V-
%	
	
		
 -0

%	u

>
*
y

?,-0	
β=0,E>R	?==0.02
V-
%	
	
	%
	 
-0

%	u

,	*--

*?,-0	
β=1,E>R	?=
E>R	
?=0.06.
M
	
β
	*å0æ
*
0.H0	β=-0,5,å0
E>R	?=0.
D
0
*
	
	
β>0.
D
%0h
0-å%

å-

.
F	-
%ø
-
å
b

%	u	%

*
åO	Bø.Bø0- 
	**
*u

%	
-
å	
ø-0
-*0

0%			%

%	u
.E

øå	0
 
*
åu

>	
-

%	u?b *	-

-
0

b0bø-
.D
 
*0
	*

*%	
	*

u	
>%		 %%

*yhu	*
%

u	
?	bø

. 
F	-

--
å
b

-	
 	h
-åbø
,	*--
-ååb
0-	*0

*,* 	*	-
	
%		
	
	u

*,
%	b
- -
	
0

*	
-
0æ

*
-h

.D
h0-	%

b-%
 -	*–

*.
K

%A*-E
*å
å%

”[i] den oppvarmede økonomien vi opplever Norge i d ag synes innholdet i 
lederskapsrollen å ha mindre interesse ut over korts iktig resultatfokusering. 
Kombinasjonen av gründerdyrking og kortsiktighet ska per lett et lederskap basert på 
makt, manipulasjon og frykt.” (Aftenposten, 15. juni 2006) 
Osmundsen m.fl (2005) viser til en økende tendens t il at oljeindustrien prioriterer 
kortsiktige lønnsomhetsmål. Hvis dette er tilfellet , vil oljeselskapene legge til grunn

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 13 
høyere diskonteringsfaktorer i sine analyser, og dermed bli mer tilbakeholdne med å 
investere i mer langsiktige prosjekter. 
For det tredje ser veilederen bort fra at kalkulasj onsrenten kan variere over tid. For 
tiden er det mange olje- og gassprosjekter i Norge, men gradvis vil det bli færre slike 
prosjekter. Hvis en fortsetter med å investere innt ekter fra norsk olje- og 
gassvirksomhet i utenlandske verdipapirer og eiendo mmer, vil den norske 
nasjonalformuen gradvis bli mer diversifisert noe s om burde ha konsekvenser for 
risikojusterte avkastninger i fremtiden. Korrelasjo nen mellom avkastningen til 
prosjekter og avkastningen til nasjonalformuen kan endre seg over tid. 
For det fjerde er det blitt en dreining i faglitter aturen i det siste med mer vekt på 
vekstmodeller og usikkerhet som grunnlag for beregn ing av kalkulasjonsrenter enn på 
bruk av kapitalverdimodellen. Dette gjelder spesiel t renter brukt i kalkulasjonen av 
langsiktige prosjekter. Dette kommer vi tilbake til i avsnittene 6 og 7. 
Mye tyder på at en revidert veileder for nytte- kos tnadsanalyser vil ta hensyn til disse 
svakhetene ved dagens praksis, spesielt renter bruk t i kalkulasjonen av langsiktige 
prosjekter. Veilederens anbefaling om en risikofri rente på 2 prosent var knyttet til 
renten på statsobligasjoner. En kan i dag stille sp ørsmål ved så vel om hvor risikofri en 
slik rente er og om nivået for en eventuell risiko fri rente skulle være lavere enn 2 
prosent. Statens pensjonsfond utland gir en avkastn ing på en diversifisert portefølje. 
Handlingsregelen sier at en skal bruke avkastningen på 4 prosent til innenlandske 
formål. I det siste har avkastningen snarere vært 3 prosent eller lavere. Dette taler for at 
den risikojusterte realrenten ”for et normalt offen tlig tiltak” er lavere enn 4 prosent. 
I Weitzman (2012, b) vises at hvis en i stedet for å ta et veid gjennomsnitt av en 
(konstant) risikofri rente og den risikojusterte re nten i kapitalverdimodellen, tar et veid 
gjennomsnitt av diskonteringsfaktorene, så vil den renten en skal bruke, gradvis synke 
over tid (fra for eksempel 6%) ned til den risikofr ie renten (for eksempel 2%). Dette 
poenget er for øvrig også vist i Dalen et al. (2008 ).

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	14	
4 Hagen-utvalget 
Hagen-utvalget (NOU 2012:16) har blant utredet kalk ulasjonsrenter. Utvalgets 
tilrådinger er: 
”I prinsippet bør reell risikojustert kalkulasjonsr ente reflektere risikofri rente og 
risikoen i prosjektet og således reflektere prosjek tets alternativkostnad, men 
diskonteringsrenten til bruk i vurdering av offentl ige tiltak bør imidlertid være 
basert på enkle regler som fanger opp de viktigste sidene ved problemstillingen. 
For offentlig forretningsdrift i direkte konkurrans e med private aktører vil det være 
naturlig å benytte en kalkulasjonsrente som tilsvar er den som private bedrifter står 
overfor. 
Til bruk i samfunnsøkonomisk analyse av et normalt offentlig tiltak, som et 
samferdselstiltak, vil en reell risikojustert kalku lasjonsrente på 4 prosent være rimelig 
for de første 40 år fra analysetidspunktet. 
Utover 40 år er rimelig å anta at man ikke kan sikr e en langsiktig rente i markedet og 
kalkulasjonsrenten bør da settes ut fra en fallende sikkerhetsekvivalent rente. For årene 
fra 40 til 75 år fram i tid anbefales en rente på 3 prosent. Som diskonteringsrente for 
årene deretter anbefales en rente på 2 prosent.” 
Hagen-utvalget stiller spørsmål ved hvor godt egnet kapitalverdimodellen og børsdata 
er til å angi kalkulasjonsrenter i langsiktige offe ntlige prosjekter. Vi er enige med Hagen-
utvalget i at denne modellen og børs data ikke er e t godt grunnlag for å tallfeste 
kalkulasjonsrenter i langsiktige prosjekter. Det er all grunn til å tvile på om den 
gjennomsnittlige avkastningen på Oslo Børs gir et g odt anslag på den forventete 
avkastningen på landet nasjonalformue. Vi deler ogs å utvalgets syn i at det kan være 
vanskelig å bestemme korrelasjonen mellom et offent lig prosjekts avkastning og 
avkastningen på landets nasjonalformue. 
I likhet med Hagen-utvalget vil vi tilrå at for off entlig forretningsdrift i direkte 
konkurranse med private aktører vil det være naturl ig å benytte en kalkulasjonsrente 
som tilsvarer den som private bedrifter står overfo r. 
For prosjekter som ikke er i direkte konkurranse me d private prosjekter antar utvalget 
en risikofri rente på 2,5 prosent de første 40 år o g viser til at det er mulig å sikre en 
risikofri rente på dette nivået ved plasseringer i det internasjonale finansmarkedet. For 
år utover 40 år anbefales en risikofri rente på 2 p rosent. Begrunnelsen for fallet i den 
risikofrie renten er usikkerheten i fremtidig økono misk utvikling. (Påslaget til den 
risikofrie renten for å gi en risikojustert rente e r 1,5 prosent de første 40 år, 1 prosent 
frem til 75 år og null deretter). Som bakgrunn for fallet i kalkulasjonsrenter over tid 
viser Hagen-utvalget til analyser gjort av Gollier og Weitzman (se referanselisten). 
Utvalget foretar ikke egne analyser. 
Våre analyser i avsnitt 7 er basert på Gollier og W eitzman modellen, men vi bruker 
norske data og får forkastet den empiriske versjone n av Gollier og Weitzman modellen.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 15 
Vår empiriske modell innebærer mindre fall over tid i den risikofrie renten enn hva 
Hagen utvalget anbefaler.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	16	
5 Kalkulasjonsrenter i andre land 
Kilden for informasjonen om kalkulasjonsrenter er e n rapport utarbeidet for OECD av 
Cameron Hepburn (2007). 
I de fleste land er kalkulasjonsrenten bestemt ut f ra private investeringer kaster av seg, 
og da mer eller mindre knyttet til kapitalverdimode llen (CAPM) og børsdata. Bruk av 
markedsrenter var en viktig anbefaling i Lind (1982 , side 89) : ”… equate the social rate 
of discount with the social rate of time preference as determined by consumption rates 
of interest and estimated on the basis of the retur ns on market instruments that are 
available to investors”. 
Det er kun i to land at myndighetene anbefaler kalk ulasjonsrenter som faller over tid, 
Frankrike og Storbritannia. 
Renter som omtales nedenfor er realrenter, og før s katt der det er aktuelt. I mange land, 
som i Norge, er for tiden veiledninger for nytte- k ostnadsanalyser under revisjon. 
Australia 
For de fleste prosjekter anbefales 10%, men det er også anbefalinger, basert på CAPM, 
knyttet til investeringer i eiendom hvor rentene er 12%, 10% og 8%. 
Østerrike 
Det er ingen anbefaling fra myndighetene og med den begrunnelse at: ”This is because 
changes in the interest rate in recent decades made the use of discounting not very 
feasible”. 
Canada 
Fra 1998 av var myndighetenes anbefaling 10% realre nte og med bruk av 8% og 12% i 
sensitivitetsanalyser. I dag brukes imidlertid 7%, og med alternativene 5% og 9%, i 
miljøprosjekter. 
Tsjekkia 
For langsiktige miljøprosjekter anbefales 1% (baser t på renten i 2006 på 
statsobligasjoner, nominell rente 4% minus inflasjo n på 3%). Hvis prosjektkostnadene 
er delt mellom private og offentlige investorer bru kes et veid gjennomsnitt, med 
kapitalinnsatsandeler som vekter. Privat realrente var 4% i 2007. 
Danmark 
Miljømyndighetene anbefaler et gjennomsnitt av en r ente knyttet til konsumstrømmer 
på 3% og en skyggepris på bruk av kapital (markedsr ente) på 6%. Finansdepartementet 
anbefaler bare bruk av skyggepris på kapital, dvs 6 %. 
Finland

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 17 
Det er få anbefalinger fra sentrale myndigheter. I transportprosjekter brukes 5%. 
Frankrike 
Siden 2005 brukes 4% for kontantstrømmer opptil 30 år og 2% etter 30 år. Trolig 
gjelder dette i hovedsak for miljøprosjekter. 
Ungarn 
Her brukes renter knyttet til statsobligasjoner og med risikotillegg. 
Irland 
I henhold til anbefaling fra EU kommisjonen brukes 5% i alle offentlige 
investeringsprosjekter. 
New Zealand 
Her brukes 10% men tiltaksansvarlige kan bruke lave re rente, for eksempel er det blitt 
brukt 7,5% i noen miljøprosjekter. 
Norge 
Her benyttes en risikofri rente på 2%, og to risiko tillegg på henholdsvis 2% og 4%. Den 
høyeste satsen er dermed på 6% og er i samsvar med den gjennomsnittlige 
avkastningen på Oslo børs. I veilederen fra Finansd epartementet vises det til 
kapitalverdimodellen som begrunnelse for de renter som benyttes. 
Slovakia 
Her brukes 5% i alle offentlige prosjekter. Det vis es til anbefaling fra EU-kommisjonen. 
Spania 
Også Spania følger EU kommisjonens anbefaling om 5% , men det er avvik. I 
vannforsyningsprosjekter brukes 4%. 
Sverige 
Inntil nylig ble det benyttet 4% i alle prosjekter. 
Sveits 
Ingen anbefalinger fra sentrale myndigheter. 
Tyrkia 
Det benyttes renter lik de som er knyttet til gjeld en som finansierer prosjektene. 
Storbritannia 
Her brukes en rente som avtar med tidshorisonten fo r prosjektene. For prosjekter med 
en horisont på 30 år brukes 3,5%. For årene mellom 31 og 75 brukes 3,0% , deretter

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	18	
2,5% (76-125 år), 2% (126-200 år), 1,5% (201-300 år) og 1% for prosjekter med en 
horisont over 300 år! 
USA 
Her brukes 3% med en henvisning til renten (inntil 2007) på statsobligasjoner for 
prosjekter som påvirker direkte privat konsum. For andre prosjekter brukes det en 
rente på 7% som er et anslag på realavkastningen i privat sektor før skatt. For svært 
langsiktige miljøprosjekter brukes renter mellom 1% og 2,5%.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 19 
6 Kalkulasjonsrenter ved langsiktige investeringspros jekter og når 
rentegrunnlaget er usikkert 
I det siste har det kommet mange artikler som igjen har tatt utgangspunkt i en 
vekstmodell hvor en representativ aktør handler på vegne av oss alle, den såkalte 
Ramsey modellen. Grunnen til å si igjen er at dette var tilfelle blant annet i Norge før e n 
gikk over til kapitalverdimodellen som et utgangspu nkt for beregning av 
kalkulasjonsrenten, se Johansen (1967). Det nye i s enere artikler er at en tar hensyn til 
at konsumstrømmen i en økonomi kan være stokastisk. 
La S være samfunnets velferdsfunksjon og la U(c	
t) være nytten til den representative 
aktøren av konsum c	
t på tidspunkt t. Vi definerer c	t som det totale private forbruket C	t 
dividert med befolkningen N	
t. Videre er δ en ikke-negativ parameter som sier at aktøren 
har større nytte av konsum ”i dag” i forhold til ” i morgen”. Vi starter med et 
resonnement hvor konsumstrømmen er deterministisk. 	
0 0	
(1) ( ) ( )	t t t	t	t t
t	
C	S e U e U c	N	
− −
= =	= =∑ ∑	δ δ	 
Anta et marginalt risikofritt investeringsprosjekt som reduserer konsumet i dag, dvs. for 
t=0, med en enhet og som gir en gevinst på e	
rt på tidspunkt t. Med risikofritt prosjekt 
menes at prosjektets avkastning er ukorrelert med a vkastningen på nasjonalformuen. 
Endringen i samfunnets velferd er da 	
0	(2) '( ) '( )	rt t t	S e e U c U c	−	∆ = −	δ	 
Det første leddet gir verdien av gevinsten e	
rt verdsatt ved grensenytten av konsum på 
tidspunkt t sett fra i dag. Det andre leddet gir ko stnaden ved å oppgi en enhet av konsum 
i dag. 
Vi ser at 	
S∆	øker i r. Det må da eksistere en rente r	t slik at 	S∆	=0 for r=r	t. r	t er 
samfunnets risikofrie kalkulasjonsrente og er gitt ved 	
0	'( )	(3)	'( )	
'( )	1
(4) ln	
'( )	
tr t t
t	
t	t	o	
U c
e e
U c
eller	
U c	r	t U c	
=
= −	δ	
δ	
 
Anta at konsumstrømmen (totalt privat forbruk delt på befolkningen) er deterministisk 
og slik at 	
0	(5)	gt	tc c e	=	 
Anta videre at nyttefunksjonen er gitt ved:

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	20	
1
(1 )	
1
(6) ( )
1	
(7) '( ) 0
(8) ''( )
''( )
(9)
'( )	
U c c
U c c
U c c U c c
U c	
−
− − +	= −
= >
= −
= −	λ	
λ	
λ	
λ
λ λ	
 
 Her er λ>0 og ulik 1. Når λ går mot 1, går nyttefu nksjonen mot U= lnc. Uttrykket i (9) 
sier at λ er lik tallverdien av pengenes grensenytt efleksibilitet (i Frisch’s vokabular) 
Fra (4), (5) og (7) får vi 	
0 0	1
(10) ln	gt
t	c e	r g	t c	
− −
−	
= − = +	
λ λ
λ	
δ δ λ	 
Vi ser at den samfunnsøkonomiske kalkulasjonsrenten er konstant over tid, gitt at 
parametrene som inngår er konstante. I Dagsvik et a l. (2006) er λ estimert på norske 
data. Parameteren λ ble estimert til å være svært h øy for konsum ned mot 
eksistensminimum og lik 1 for et svært høyt konsum. For privat konsum per capita 
rundt dagens nivå kan 1.3 være et rimelig anslag. 
I perioden 1970-2010 var veksten i privat konsum pe r hode på 2,5 prosent. Ser en hele 
det forrige hundreåret under ett er veksten om lag 2 prosent. Setter en δ=0, λ=1,3 og 
g=0,020, blir r=0,026 eller 2,6 prosent. Vi ser at hvis vi setter λ lik den nedre grensen i 
anslaget til Dagsvik et al. (2006), dvs λ=1, og δ=0 , blir anslaget på den risikofrie renten 2 
prosent, slik den i dag er i Finansdepartementets v eileder. 
Fordi λ kan falle med nivået på konsumet, kan kalku lasjonsrenten falle med økende 
konsum. Tar vi hensyn til at λ varierer med konsum slik som i Dagsvik et al. (2006) er 
 	
min
1	
1	
t
c
c	
= −λ	. 
Hvis C	
min	 antas å utgjøre for eksempel 23% av konsumet C	t, vil λ holde seg konstant og 
lik 1,3. 
Hvis C	
min	 er konstant, får vi at 	2	(1 ) 1.	tr g g for
t t	
λ	λ λ λ	∂	∂	= = − < >	∂ ∂	 Dette betyr at den 
risikofrie renten kan falle over tid. 
I fortsettelsen vil vi se bort fra dette og antar a t λ er konstant. Ved å bringe inn at 
veksten i privat konsum ikke er deterministisk, kan vi likevel få at kalkulasjonsrenten vil 
falle over tid. 
I Figur 1 viser vi veksten i privat konsum i den ti den Norge har vært en oljenasjon, dvs. 
fra 1970 og til i dag. Vi ser at den årlige veksten svinger ganske mye. Figuren viser 	
at de 
f	
ørste årene etter «den første olje» er kjennetegnet av en ganske sterk vekst i det private 
konsumet. Unntaksåret var 1978 og hang sammen med d e problemer som

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 21 
oljeimporterende land, og derfor mange av Norges handelspartnere, slet med etter den 
kraftige økningen i oljeprisen i 1973-1974. I etter tid er det naturlig å se forbruksveksten 
på 1970-tallet som et resultat av at man tilpasset seg det faktum at Norge var blitt en 
oljenasjon, forsterket av at oljeprisene økte kraft ig. 
Som vi ser av Tabell 1, var den gjennomsnittlige fo rbruksveksten på 1970-tallet noe 
høyere (3,5 prosent) enn i hele perioden 1970-2010 sett under ett (3,0 prosent). Den 
perioden som skiller seg noe ut, er 1980-årene. I g jennomsnitt var konsumveksten 
moderat; 1,7 prosent, jfr. Tabell 1. Frem til det k raftige oljeprisfallet midt i tiåret, var 
imidlertid forbruksveksten svært høy. Den kom opp i hele 9,2 prosent i 1985, og veksten 
var også sterk i 1986, etter at oljeprisen hadde fa lt kraftig. Denne forbruksutviklingen 
var åpenbart godt over det som kan sies å være bære kraftig i et langsiktig perspektiv. 
Flere forhold bidrar til å forklare de sterke utsla gene i samlet etterspørsel på 1980-
tallet. Spesielt førte endringer i rente- og skatte politikken, sammen med tidligere 
gjeldsoppbygging, til en kraftig tilstramming i det private forbruket mot slutten av tiåret. 
Befolkningsveksten i perioden 1970-2010 var i gjenn omsnitt på 0,5 prosent. Veksten i 
privat konsum per hode var dermed på 2,5 prosent. V eksten i privat forbruk per hode 
fra 1900 til 1970 var i gjennomsnitt på 1,9 prosent og fra 1950 til 1970 på 2,7 prosent. 
Fra 1970 til 2010 har den gjennomsnittlige veksten i offentlig forbruk vært på 3,2 
prosent, altså 0,2 prosentpoeng mer enn veksten i d et private forbruket. Bortsett fra på 
1970-tallet har veksten i offentlig forbruk vært re lativt moderat, og lavere enn veksten i 
privat forbruk de siste 20 årene. 	
 
Figur 1. Vekst i privat forbruk, 2005 priser 
 
 
-4
-2 0
2
4
6
8
10
1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 Vekst i privat forbruk fra foregående år i prosent

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	22	
Tabell 1. Vekst i privat og offentlig forbruk, Gjennomsnitt for fire 10-	årsperioder. 
Prosent. 	
Perioder 1970-1979 1980-1989 1990-1999 2000-2009 1970-2010	 	
Privat 
forbruk 3,5 1,7 3,0 3,0 3,0 
Offentlig 
forbruk 4,5 2,2 2,8 2,3 3,2 
 
Det kan derfor være gode grunner for å anta at kons
umvekst ikke har et deterministisk 
forløp. 
I flere artikler av Gollier og Weitzman, hver for s eg og sammen, er veksten i konsumet 
stokastisk. I referanselisten er det vist til en re kke artikler og bøker de har skrevet. 
Anta at veksten i konsumet per hode er gitt ved: 	
1	(11) ln ln	t t tc c Y	−	− =	 
 Gollier og Weitzman antar at Y	
t består av en permanent komponent X	t og en komponent 
som reflekterer tilfeldige og forbigående sjokk, z	
t. Vi antar videre at den permanente 
komponenten følger en ”random walk”: 	
1	
(12) 
(13)	t t t
t t t
Y X z
X X w	−	
= +
= +	 
De stokastiske variablene { z	
t}og {w	t}er uavhengige Gaussiske prosesser med fordelinger 	
(14)	 ~(0, 		
)
 	
(15)	 	~(0, 	
)
 
La 	
1
1 1	
(16) 
(17)	
t
t s s
t	
t s	s	
Z z
og
W w	
τ
τ	
=
= =	
==∑
∑ ∑	
 
Fra (11)-(13), (16) og (17) får vi ved rett frem it erering og summering at:

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 23 	
0 0	(18) ln ln	t t tc c tX Z W	− = + +	 
Vi ser at 	
1	
2	
1	
(19) ( ) ( ) 
( 20) ( ) ( )	
t
t s s
t	
t s y	s	
E Z E z
Var Z Var z t	σ	
=
=	
= == =∑∑	
 
Vi ser videre at 	
1 1	
(21) ( ) ( ) 0	
t
t s s	
E W E w	
τ
τ	
= =	
= =∑∑	 
Variansen til W	
t er mer komplisert. Vi ser at 	
1 2 3
1 1	(22) ( 1) ( 3) ...	
t	
t s t	s	
W w tw t w t w w	
τ
τ	
= =	
= = + − + − + +∑∑	 
Fordi var (tw	
1)=t	2	2 2 2 2	var(( 1) ) ( 1) ,	x xog t w t etc	σ σ	− = −	, og fordi w-ene er stokastisk 
uavhengige, får vi: 	
2 2 2 2 3
1 1 1	(23) var( ) var( var( )) ( 1)( 0.5) / 3 / 3 ( )	
t t
t s x x x s k	
W w k t t t t for stor t	
τ
τ	
σ σ σ	
= = =	
= = = + + ≅	∑∑ ∑	 
Hvis den permanente vekstkomponenten ikke er direkt e observerbar, så blir også X
0 en 
stokastisk variabel. Anta at 	
(24)	 	~(, 	
)
 
Vi har da kommet fram til at 	
(25) (ln ln ) . (ln ln )
(26)	t o
t o	E c c tg	
dvs E c c	
g	t
− =
−	=	
 	
0	(ln ln )	t	E c c	
t
−	er direkte knyttet til den forventete gjennomsnittl ige fremtidige 
vekstraten, g, i perioden (0,t). 
Videre har vi at 	
2 2 2 3 2
0 0	(27) (ln ln ) / 3	t y x	Var c c t t t − = + +	σ σ σ	 
Fordi de stokastiske variabler som inngår er normal fordelte, har vi at:

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	24
(28)	
 
(	− 	)~(,

+ 	
/3)
 
Likningene (1) og (3) må nå endres på grunn av at k onsumet, eller snarere veksten i 
konsumet, er stokastisk (initiale nivået på konsume t, c	
0 er ikke stokastisk) : 	
[	]	
0	
(1') ( )	t
t
t	ES e E U c	δ−
=	=∑	 
og 	
0	'( )	(3')	( '( ))	
tr t t	
t	
U c	e e	E U c	
δ	=	 
Fra nyttefunksjonen i (6) får vi da: 	
0	1	( 2 9) ln [ex p ( (ln ln )]	t tr E c c	t	= − − −δ λ	 
I Vedlegg 2 viser at hvis logX=μ+η, hvor η er normalfordelt ( μ,σ	
2), så er 
E(X)=E(exp(μ+η))=exp(μ+ σ	
2/2) . Ved å bruke dette får vi at 	
2
0
0
3 2
2
2 2 2
0
2 2
2
2 2
0var(ln ln )	1	(30) [ (ln ln ) ( ) ]	2
1
(31) [ ( )]
2 3
(32) ( )	
2 3	
t
t t
x
t y
x
t yc c	r E c c
t
dvs
t
r tg t t
t
dvs
t
r g t	−	= − − − + −
= − − + + + = + − + +δ λ λ σ
λ
δ λ σ σ
σ
λ
δ λ σ σ	
 
Vi ser at hvis 	
2 2 2
0	0	y x	σ σ σ	= = =	, så får vi den kalkulasjonsrenten som følger av de n 
deterministiske Ramsey modellen. 
Vi ser at hvis 	
2 2 2
0	0, 0	x y	men	σ σ σ	= = >	vil kalkulasjonsrenten være konstant over tid, men 
lavere enn kalkulasjonsrenten i det deterministiske tilfellet: 	
2
2	
(33)	
2	t yr g g	λ	δ λ σ δ λ= + − < +	 
Forklaringen er at tilfeldige sjokk i konsumveksten , når den representative aktøren er 
risikoavers, gjør risikofrie investeringer mer attr aktive. 
Usikkerheten knyttet til den permanente komponenten i konsumveksten gjør at 
kalkulasjonsrenten vil falle over tid. Det at event uelt	
2	0	xσ	>	reflekterer den frykt at vi 
ikke vet hvilken veg konsumet vil bevege seg på lan g sikt.
2
0	0	σ	>	innebærer at vi ikke vet

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 25 
hva den underliggende trendveksten i konsumet er. Det siste skyldes at vi ikke vet 
hvordan vi skal tolke støyen i tidligere observasjo ner av konsumvekst. 
Konsekvensen av en tidsavhengig kalkulasjonsrente e r ikke at en skal bruke ulike 
kalkulasjonsrenter fra prosjekt til prosjekt, gitt samme tidshorisont. Konsekvensen er at 
prosjekters netto inntektsstrøm skal ha en lavere k alkulasjonsrente over tid. 
Antar vi som over at δ=0, λ=1,3 og g=0,02, og dessu ten at σ	
y=0,03, σ	x=0,0001, 
σ	
0=0,0001(Weitzman og Golliers’ antakelse), får vi en risikofri kalkulasjonsrente som 
vist i tabellen nedenfor. 
Tabell 2. Risikofri kalkulasjonsrente avledet fra e n Ramsey modell med usikker 
konsumstrøm. Weitzman/Gollier modellen. Prosent. 
År t 1 20 40 60 80 100 	
Renten r	t (%) 2,52 2,39 2,04 1,46 0,65 -0,38 	
Diskonteringsfaktor, 	
tr t	e−	 0,975 0,620 0,442 0,416 0,595 1,462 	
Trappvis variabel 
rente (%) 
2,52 2,39 2,00 0,30 -1,77 -4,49 
 
I tabellen gir øverste linje den renten som gir dis
konteringsfaktoren gitt ved ligning (3’). 
Diskonteringsfaktorene er gitt i linjen under. I si ste linje gir vi en trappvis variabel rente 
som gir de aktuelle diskonteringsfaktorene: I kolon nen for 60 år betyr tallet 0,30 at 
renten fra 40 år til 60 år må være 0,30% for å brin ge diskonteringsfaktoren ned fra 
0,442 til 0,416. Vi ser at etter drøyt 60 år blir r enten med de beregnede tallene negativ – 
etter hvert kraftig negativ. 
Det er mange grunner til at fremtidig konsumvekst e r usikker. Det er derfor gode 
grunner for at kalkulasjonsrenten skal falle over t id. Dette vil gjøre langsiktige 
prosjekter mer lønnsomme enn hva som har vært praks is i Norge. Dette vil kunne ha 
konsekvenser for investeringer i rør fra Barentshav et ned til eksisterende gassnett i 
Norskehavet versus videre utbygging av LNG-kapasite ten. Begge prosjekter er 
langsiktige. Merk at i den eksisterende veileder fo r kalkulasjon av prosjekter skal ”sunk 
cost” gi grunn for et ekstra påslag i renten, noe s om gjør at rørprosjekter kan ha en 
høyere kalkulasjonsrente enn utbygging av LNG prosj ekter. 
Det er som nevnt flere grunner til at kapitalverdim odellen og bruk av børsdata gir for 
høye anslag på kalkulasjonsrenten, spesielt for pro sjekter med lang levetid. En Ramsey 
modell som tar hensyn til stokastisk konsumvekst er et alternativ som ivaretar hensynet

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	26	
til kombinasjonen av langsiktighet og usikkerhet. Den utvidete Ramsey modellen har 
imidlertid også sine svakheter: 
1)	
 Nyttefunksjonens form er usikker. 
2)
 Hvordan usikkerheten inngår, er litt tilfeldig valg t. Er normalfordelingen en bra 
forutsetning? Er kombinasjonen av hvit støy og ”ran dom walk” rimelige 
forutsetninger? Her er det behov for konkrete estim eringer, noe vi kommer 
tilbake til i neste avsnitt. 
3)
 Er en representativ aktør modell et troverdig utgan gspunkt? 
Groom et al. (2007) diskuterer økonometrisk modellv alg knyttet til modeller hvor 
diskonteringsfaktorer og dermed kalkulasjonsrenter er stokastiske og hvor forventet 
verdi faller over tid. Data fra USA er brukt i esti meringen av rentemodeller, hvorav 
”Random Walk” er ett av dem, men ikke det beste i f ølge statistiske kriterier. En test av 
om den økonometriske modellen i (18) ikke forkastes av norske data ville være å 
estimere følgende relasjon (lnc	
t-lnc	t-1)=g+a(lnc	t-1-lnc	t-2)+e	t . Modellen til Goullier og 
Weitzman, dvs likning (18), er forkastet dersom a e r signifikant forskjellig fra 1. Dette er 
mulig å gjøre på norske konsumdata.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 27 
7 Kalkulasjonsrenter beregnet på norske data 
Det er gode grunner for å bruke kalkulasjonsrenter som avtar over tid. Men det er også 
gode grunner til å benytte risikotillegg som tar he nsyn til hvordan avkastningen til et 
prosjekt korrelerer med avkastningen til nasjonalfo rmuen, og hvor denne korrelasjonen 
og dermed risikotillegg er knyttet til observerbare forhold i norsk økonomi. 
Fra kapitalverdimodellen har vi at 
E[R	
j] = r+ 	βj {E[R	m]-r}. Som nevnt foran kan 	βj være negativ, men det vanligste er at 	βj er 
positiv. Vi har som vist foran at 	
(34) [ ] (1 ) [ ]	j j j m	E R r E R	β β	= − +	 
Hvis prosjektets avkastning er perfekt korrelert me d avkastningen til nasjonalformuen, 
vil vi anta at 	
βj=1 og E[R	j]=E[R	m]. Hvis avkastningen til prosjektet er helt uavheng ig av 
avkastningen til nasjonalformuen, er 	
βj=0, og E[R	j]=r. Forøvrig er E[R	j] normalt noe 
mellom disse to ytterpunktene, men kan være under o g over ytterpunktene. 
La E[R	
j]=r	jt og la E[R	mt]=r	Mt. La oss anta at den risikofrie renten r	t kan være gitt ved 
uttrykket som følger av Ramsey modellen med usikker het, dvs. som gitt i likning (32). I 
stedet for å ta gjennomsnittet av renten tar vi gje nnomsnittet av diskonteringsfaktorene, 
dvs. 	
(35) exp( ) (1 ) exp( ) exp( )	
1	(36) ln[(1 ) exp( ) exp( )]	
jt j t j mt	
jt j t j mt	
r t r t r t	
som gir	
r r t r t	t	
β β
β β	
− = − − + −
= − − − + −	
 
Antar vi at δ=0, λ=1,3 og g= 0,020, og dessuten at σ	
y=0,03, σ	x=0,0001, 
σ	
0=0,0001(anslagene til Gollier og Weitzman) er den r isikofrie renten r	t gitt i Tabell 2. 
Som forenkling antar vi at r	
mt er konstant over tid, men i praksis vil det være a v 
betydning å tillate at den kan variere over tid. He r setter vi den lik den avkastning som 
en mener oljefondet kan oppnå (4%). 
Vi får da kalkulasjonsrenter for et prosjekt j som vist i Tabell 3.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	28	
Tabell 3. Kalkulasjonsrente for et prosjekt j. Risiko fri rente avledet fra en Ramsey 
modell med usikker konsumstrøm (Weitzman/Gollier mo dellen) og forventet 
markedsrente (avkastning på nasjonalformuen) på 4%. β	
j viser korrelasjonen 
mellom avkastningen til prosjektet og nasjonalformu en. Prosent. 
År t 1 20 40 60 80 100 	
βj=0: 
rente r	
jt 
(%) 2,52 2,39 2,04 1,46 0,65 -0,38 	
βj=0,5: 
rente r	
jt 
(%) 3,26 3,13 2,83 2,29 1,43 -0,03 	
βj=1: 
rente r	
jt 
(%) 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 	
 
Rentene i i Tabell 3 (og i Tabell 5 under) har samm
e tolkning som rentene i første linje i 
tabell 2. 
Anslagene ovenfor er ikke avledet fra konkrete esti meringer på norske data og 
resultatet for den risikofrie renten er basert på m odellen og parametrene til 
Gollier/Weitzman. 
Vi har derfor estimert relasjonen lnc	
t-lnc	t-1=g+a(lnc	t-1-lnc	t-2)+e	t på norske data for 
perioden 1950-2010. Data er fra 	
 http://www.ssb.no/histstat/aarbok/ht-0901-355.html	 	
Som nevnt foran innebærer modellen til Gollier/Weit zman at a=1. Resultatet av 
estimeringen er gitt i Tabell 4. Parameteren g er et estimat på den gjennomsnittlige 
vekstraten i privat forbruk per hode.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 29 
Tabell 4.Estimat av (lnC	t-lnC	t-1	)=g+a(lnC	t-1	-lnC	t-2	)+e	t. Privat konsum per hode i 
perioden 1950-2010. 
Koeffisienter Estimat Standardavvik t-verdi 	
g 0.0204 0.0042 4.79 
a 0.2142 0.1275 1.68 
Antall observasjoner: 59, Adj.R	2=0.0305, estimat på var(e	t)= s	2=0.001. 
Estimatet på a betyr at modellen i likning (18), som er basert på a =1, er forkastet. Vi kan 
ikke forkaste hypotesen om at a=0 
I Vedlegg 3 viser vi utledningen av E(lnc	
t-lnc	0) og var(lnc	t-lnc	0). Vi får da:	
{ }2	(37) [ln ( ) ln (0)] (1 ) (1 )	
(1 )	
t	g	E c t c t a a a	
a
− = − − −
−	 
og 
(38) Var [lnc(t)-ln c(0)]
a
a
a
t
a
s
t	
−
−
−
−
 



−
=	
−	
1 )
1(
2
)1
[(
1	
1
2	
+	
2 ( 1)	2
2(1 )	]	1	
t	a a	
a	
−	−−	. 
For å sammenlikne modellen her med Weitzman/Gollier modellen lar vi a gå mot 1. 
Fordi uttrykket for forventing og varians er av typ en 0/0 når a går mot 1, må vi bruke 
L’Hopitals regel for å finne grenseverdiene.1 Vi få r da at grenseverdien for 
forventningen er gt+g(t-1)/2. Dette er lik verdien i Weitzman/Gollier modellen for t=1. 
Modellen estimert på norske data, med a<1, gir med andre ord en grenseverdi, og verdi 
forøvrig som overstiger forventningsverdien i Weitz man/Gollier modellen for t>1. 
Grenseverdien for variansen er imidlertid identisk med variansen for den stokastiske 
vekstraten X	
t i Weitzman/Gollier modellen, se Vedlegg 2. 
Fordi a ikke er signifikant forskjellig fra ser v i at når a=0 har vi 	
(3 7 | ) [ln ( ) ln (0)]	a E c t c g t= − =	 
og 
 	
1 Forventningsuttrykket i (37) er av typen F(a)/G(a ). 	
1 1 1	
( ) '( ) ''( ) ( 1)
( ) '( ) ''( ) 2	a a a	
F a F a F a gt t
Lim Lim Lim gt
G a G a G a	
→ → →	
−	= = = +	 . Tilsvarende for 
variansen.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	30	
(38|a=0) var[lnc	t-lnc	t-1] 	2	1	s ( t )= −	 
I dette tilfellet er forventingen som i Weitzman/Go llier modellen, mens variansen ikke 
er det. 
Benytter vi nyttefunksjonen ovenfor er den risikofr ie renten gitt ved likning (30), dvs. 	
2	0	0	
var(ln ln )	1	(30) [ (ln ln ) ( ) ]	2
t
t tc c	r E c c	t	δ λ λ	−	= − − − + −	 
Setter vi a lik null (λ=1.3, δ=0), får vi Tabell 5, som er en parallell til Tabell 3. 
Tabell 5. Kalkulasjonsrente for et prosjekt j. Risi ko fri rente avledet fra en Ramsey 
modell med usikker konsumstrøm, estimert på norske data, og forventet 
markedsrente (avkastning på nasjonalformuen) på 4%. β
j viser korrelasjonen 
mellom avkastningen til prosjektet og nasjonalformu en. Prosent 
År t 1 20 40 60 80 100 	
βj=0: 
rente r	
jt 
(%) 2,60 2,44 2.43 2.43 2.43 2.43 	
βj=0,5: 
rente r	
jt 
(%) 3,30 3.16 3.09 3.04 2,98 2,93 	
βj=1: 
rente r	
jt 
(%) 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 	
 
Beregningene er usikre og den risikofrie renten vil
 falle sterkere jo høyere variansen i 
vekstraten er, dvs jo høyere s	
2 er. Men beregninger basert både på Weitzman/Gollie r 
modellen og på modellen estimert på norske data vis er at den risikofrie renten kan falle 
over tid, noe i og for seg også markedsrenten kan. Sammenlikner vi Tabellene 3 og 5 ser 
vi at fallet over tid i den risikofrie renten og re nten knyttet til en beta verdi lik 0.5, er 
langt svakere basert på norske data enn på modellen og parameterverdien til 
Weitzman/Gollier. Vi ser at for de første 40 år er den risikofrie renten i vårt opplegg 
omtrent lik anbefalingen til Hagen utvalget. I mots etning til Hagen faller den nesten ikke

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 31 
over tid. Variansen til vekstraten for konsumet per hode stiger for lite til å gi et sterkere 
fall i renten. 
For tiden må en anta at avkastningen i olje- og gas srelaterte prosjekter er korrelert med 
avkastningen på nasjonalformuen. Hvor sterk korrela sjonen er, vil kreve egne 
undersøkelser. 
Tabellene 2 og 3 indikerer at renten kan bli svært lave eller t.o.m. negativ etter 50-60 år. 
Tabell 5, som er basert på norske data, gir ikke sa mme konklusjon; her holder den 
risikofrie renten seg på ca 2,4% selv etter 100 år. Det er imidlertid stor usikkerhet 
knyttet til tallene så langt inn i fremtiden. Vi ka n ikke utelukke at en ”riktig” rente på 
veldig lang sikt er lavere enn hva Tabell 5 antyder . Hagen-utvalget foreslår en 
kalkulasjonsrente på 2% fra år 75%. For de fleste p rosjekter vil det spille liten rolle om 
kalkulasjonsrenten er 2 eller 3% fra 75 år. Et unnt ak kan være ulike problemstillinger 
knyttet til klima og miljø, da realverdiene av det som skal diskonteres kan være svært 
store langt inn i fremtiden (som omtalt i Hagen-utv alget samt i Hoel og Sterner, 2007).

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	32	
8 Konklusjon 
Gitt beregningene i avsnitt 7 kan en enkel regel fo r petroleumsprosjekter være at for 
inntekter og utgifter de første 40 år brukes en ren te på 4%. For årene deretter brukes en 
rente på 3%. Vi tar ikke stilling til om renten bør være enda lavere på veldig lang sikt, f. 
eks. 2% fra 75 år som Hagen-utvalget foreslår. Om r enten er 2% eller 3% så langt inn i 
fremtiden vil neppe spille noen rolle for vurdering er av petroleumsrelaterte 
investeringsprosjekter.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 33 
Litteratur 
Dagsvik, J.. K, Z. Jia ,and S. Strøm (2006):“Utility of income as a random function: 
Behavioral characterization and empirical evidence” , Mathematical Social Science , Vol 51 
No 1, 23-57. 
Dalen, D.M., M.Hoel og S. Strøm (2008): ”Kalkulasjo nsrenten i en usikker verden”, 
Samfunnsøkonomen nr 8. 
Gollier, C. (2008): “Discounting with fat-tailed economic growth” . Manuscript. 
Gollier, C. (2012): “Pricing the Planet’s Future: The Economics of Discou nting in an 
Uncertain World” , Princeton University Press (forthcoming in Octobe r). 
Gollier, C. and M. L. Weitzman (2010): “How should the distant future be discounted 
when discount rates are uncertain”, Economics Letters, 107 , 350-353. 
Groom, B, P. Koundouri, E. Panopoulou and T. Pantel ids (2007): “Discounting the distant 
future: How much does model selection affect the ce rtainty equivalent rate? Journal of 
Applied Econometrics , 22, 641-665. 
Hepburn, C. (2007): ”Use of discount rates in the estimation of the costs of inaction with 
respect to selected environmental concerns” , OECD, Paris. 
Hoel, M. and Sterner T. (2007), “Discounting and Re lative Prices”, Climatic Change 84, 
265-280. 
Johansen, L. (1967): Investeringskriterier fra samf unnsøkonomisk synspunkt, 
Finansdepartementet, Oslo. 
Lind, R.C. (1982): ”A primer on the major issues re lating to the discount rate for 
evaluating national energy options”, in Lind, R. C. (ed): ”Discounting for time and risk in 
energy policy”, Washington, DC, Resources for the Future, 21-94. 
NOU 2012:16: “Samfunnsøkonomiske analyser ”. 
Osmundsen, Petter, Frank Asche, Bård Misund og Klau s Moen (2005): Valuation of 
internasjonal oil companies – the RoACE era. CESifo Working Paper No. 1412. 
Vennemo, H., Hoel, M. og Wahlquist, H. (2012), Syst ematisk usikkerhet i norsk økonomi. 
Rapport 40, Vista Analyse. 
Weitzman, M.L. (2010 ):” Risk-adjusted gamma discounting”, Journal of Environmental 
Economics and Management , 60 , 1-13. 
Weitzman, M.L. (2012,a) :”The Ramsey discounting formula for a hidden-state st ochastic 
growth process” , Manuscript. 
Weitzman, M.L. (2012,b): ”On the risk-adjusted discount rate for public inves tment”. 
Manuscript.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	34	
Vedlegg 1. Kapitalverdimodellen 
Modellen som benyttes til å prise risiko er kapitalverdimodellen, og vi skal gi en kort 
oppsummering av opplegget for prising av samfunnsøk onomisk risiko her. 
La r være den risikofrie renten. R	
j er en usikker avkastning i prosjekt j og R	m er 
avkastningen i en markedsportefølje, f.eks. uttrykt ved avkastningen på totalindeksen på 
Oslo Børs. Da sier kapitalverdimodellen at risikopr emien i prosjekt j, definert som 
avviket mellom forventet avkastning på prosjektet, E[R	
j] og den risikofrie renten r, dvs 
E[R	
j]-r, er proporsjonal med risikopremien til markedsp orteføljen, dvs E[R	m]-r, og hvor 
proporsjonalitetsfaktoren er 	
βj. Dette betyr at 
(1) {E[R	
j]-r}=	βj {E[R	m]-r} 
Vi ser da at risikopremien til et prosjekt j, defin ert som uttrykket til venstre i likningen, 
kan anslås ved uttrykket til høyre i likningen. Ris ikopremien til prosjekt j er med andre 
ord lik 	
βj {E[R	m]-r}. 
Vi ser at vi kan skrive likning (1) som 
(2) E[R
j] = r+ 	βj {E[R	m]-r} 
Det risikojusterte avkastningskravet til prosjektet er med andre ord lik summen av en 
risikofri rente r og risikopremien til høyre i likn ing (1). 	
βj har karakter av å være en regresjonskoeffisient, d vs at 	
m	j jm j	j
2 
m m	
cov(R , R )	(3)	ρ σ	β = =	σ σ	 
hvor cov (R	
j,Rm) er kovariansen mellom avkastningen i prosjekt j o g markedsporteføljen. 	
σj og 	σm er standardavvikene i fordelingen av usikkerheten til prosjekt j og 
markedsporteføljen. 	
ρjm er korrelasjonskoeffisienten mellom avkastningen t il prosjekt j 
og avkastningen til markedsporteføljen. 	
βj kan estimeres på data fra aksjemarkedet. I 
bruken av denne modellen må vi ta hensyn til at pri vate investeringsprosjekter kan 
enten finansieres ved egenkapital eller ved låneopp tak. Fordi det gjelder ulike 
skatteregler knyttet til eierinntekter og utgifter til lånerenter, må en ta hensyn til 
finansieringsformen ved bruk av kapitalverdimodelle n i beregningen av 
kalkulasjonsrenter.

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 35 
Vedlegg 2. Forventningen og variansen i en log-normal fordeling 
La log X være en normalt fordelt variabel med forventning μ og spredning σ. 
() =  + η 
hvor η ~(0,

) 
dvs (
1 
log =  +  
hvor ~(0, 1 	
2 2
2 2 2
2 2	( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2	
) ( )
( ) tan , 1 1 1
(5) )
2 2 2
(6) ) ( )	
(2) ( )
(4) (
(
(
(3) ( )	
x x x
x
x	e f x dx
hvor f x er s dardnormaltettheten da er	
e dx e dx e e dx	
dvs
E e f x dx e
o	
X e
da er
E e
E e
E e e
E X e	
σε σ σσ
σ σ
σ
σε
σ σ
σε
μ σε	
μ σε	
π π π	
∞
−∞
∞ ∞ ∞
− −
− − + −
−∞ −∞ −∞
∞
−∞	
+
=
= = =
= =	
=	
=	
∫
∫ ∫ ∫ ∫	
2
2	(7) ( )g
E X e	
σ
μ+	=	
 
Variansen til X er gitt ved 	
2 2
2 2	
2 2 2
2 2	
2 2
2 2
2
4
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2	(8) ( ) ( ) [( ) ] [ ( )] 
(9) ( ) ( )( ) 
(10) [( ) ] ( ) 
(11) ( ) 
(12) ( ) ( 1) V X V e E e E e
e e e e
E e e E e e e e
V X e e e e e
dvs
V X e e	μ σε μ σε μ σε	
μ σε μ σε μ σε μ σε
σ
μ σε μ μ μ σ σε
σ σ
μ μ	
μ σ μ σ μ σ
μ σ σ
+ + +	
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
+	
= = −	
= = = = =
= − = −
= −

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	36	
Vedlegg 3. Utregning av E(log c	t-logc	0) og var(log c	t-logc	0) 	
Utregning av E(log c	t-logc	0), og var(log c	t-logc	0) når konsumveksten er gitt ved 
(lnc	
t-lnc	t-1)=g+a(lnC	t-1-lnC	t-2)+e	t og hvor e	t er normalfordelt (0,s): 
La 	
Z ( t ) s e( t ) g ,	= +	( ) ln ( )X t c t	=	og 	).1
(
)
(
)
(	−	−	=	t
X
t
X
t
Y	 
Da er 	
)1(
)0(
)1( Y
X
X	=	−	, 
(1) 	
),2(
)1(
)1(
)2( Z
aY
X
X	+	=	−	 
 	
),3(
)2(
)1(
)2(
)3(	2	Z
aZ
Y
a
X
X +
+
=
−	 
 	
).(
...
)2(
)1(
)1
(
)(	2
1	t
Z
Z
a
Y
a
t
X
t
X	t
t	+
+
+
=
−
−	−
−	 
Summerer vi disse likningene får vi at venstre side blir 	
)0(
)
( X
t
X	−	 slik at 
(2)	
).(
..
)3(
)
..
1(
)2(
)
..
1(
)1(
)
..
1(
)1(
)0(
)(	3
2
2
2
1
2	t
Z
Z
a
a
a
Z
a
a
a
Y
a
a
a
Y
X
t
X	t
t
t	+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−	−
−
−	
 
Fra den siste likningen ovenfor får vi at 
(3) 	
).
(
..
)3(	1	
)
1(
)2(	
1	
)
1(
)1(	
1	
)
1(
)0(
)
(	2
1	
t
Z
Z	a
a
Z	
a
a
Y	
a
a
X
t
X	t
t
t	
+
+
−
−
+
−
−
+
−
−
=
−	
−
−	
 
Fra dette følger det at 
(4) 	
.
...
1 )
1(
1 )
1(
1 )
1(
))1(
),0(
|)
(
(2
2
2
3
2
2
2
2
2
1s
s
a
a
s
a
a
s
a
a
Y
X
t
X
Var	
t
t
t	
+

 




−
−
+






−
−
+






−
−
=	
−
−
−	
 
Vi har da at 
(5)	
2
2
)2
(2
2
2
)1
(2
1
2)
1(
1
...
)
2
1(
1
)
2
1(
1
))1(
),0(
|)(
( a
a
s
a
a
a
s
a
a
a
s
Y
X
t
X
Var	t
t
t
t	−
 



−
+
+
+
−




−
+
+
−




−
=	−
−
−
−	
 	a
a
a
t
a
s
t	
−
−
−
−
 



−
=	
−	
1 )
1(
2
)1
[(
1	
1
2	
+	]	1	
)
1(	
2 )1
(2
2a
a
a	t	
−
−	
−	. 
La oss dernest beregne variansen i grensetilfellet når a går mot 1. Ved gjentatt bruk av 
l’Hôpitals regel får vi at

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 37 
(6) 	
2 2	(2 1)( 1) ( 0.5)( 1) / 2	( ( ) | (0), (1)) .	
6 3	
t t t s t t t s
Var X t X Y + − + −
→ =	 
Videre blir 
(7) 	
1 2	(1 ) ( (1)) {1 1 .. 1 }	( ( ) | (0), (1)) (0)	
1 1
t t ta E Y g a a a	E X t X Y X	
a a	
− −	− − + − + + −	= + +	
− −	 
 	
1	(1 ) ( (1)) [ 1 (1 ) / (1 )]	(0)	
1 1
t ta E Y g t a a a	X	
a a	
−	− − − − −
= + +	
− −	 
Med E(Y	
1)=g, får vi 	
1	(8) ( ( ) (0)) ( )	
1 1	
t	g a	E X t X t a	
a a	
−
− = −	
− −	 
Når a går mot 1 vil 
 
(9) 	
0 1 1 1 2	E ( X ( t ) | X ( ),Y ( )) X ( ) tY ( ) gt( t ) / .	→ + + −	 
Vi har da at 
(10) Var [lnc(t)-lnc(0)]	
a
a
a
t
a
s
t	
−
−
−
−
 



−
=	
−	
1 )
1(
2
)1
[(
1	
1
2	
+	
2 ( 1)	2
2(1 )	]	1	
t	a a	
a	
−	−−	. 	
2	(11) [ln ( ) ln (0)] ( (1 ) (1 ))	
(1 )	
t	g	E c t c t a a a	
a
− = − − −
−

Kalkulasjonsrenten 
Vista Analyse AS 	38